Diamantoperation

Die Diamantoperation ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine Operation, welche aus zwei simplizialen Mengen eine weitere simpliziale Menge macht. Dabei ist die Diamantoperation ähnlich zum Verbund simplizialer Mengen und wird in einer alternativen Konstruktion der getwisteten Diagonale benutzt.

Für simpliziale Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist ihr Diamant ${\displaystyle X\diamond Y}$ das Kofaserprodukt des Diagramms:^[1][2]

${\displaystyle X\times Y\times \Delta ^{1}\leftarrow X\times Y\times \partial \Delta ^{1}\rightarrow X+Y.}$

Es gibt einen kanonischen Morphismus ${\displaystyle X\diamond Y\rightarrow \Delta ^{0}\diamond \Delta ^{0}\cong \Delta ^{1}}$, dessen Faser von ${\displaystyle 0}$ genau ${\displaystyle X}$ und dessen Faser von ${\displaystyle 1}$ genau ${\displaystyle Y}$ ist.

Sei ${\displaystyle Y}$ eine simpliziale Menge. Der Funktor ${\displaystyle Y\diamond -\colon \mathbf {sSet} \rightarrow Y\backslash \mathbf {sSet} ,X\mapsto (Y\mapsto X\diamond Y)}$ hat einen Rechtsadjungierten ${\displaystyle Y\backslash \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {sSet} ,(t\colon Y\rightarrow W)\mapsto t\backslash \backslash W}$ (alternativ notiert als ${\displaystyle Y\backslash \backslash W}$) und der Funktor ${\displaystyle -\diamond Y\colon \mathbf {sSet} \rightarrow Y\backslash \mathbf {sSet} ,X\mapsto (Y\mapsto X\diamond Y)}$ einen Rechtsadjungierten ${\displaystyle Y\backslash \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {sSet} ,(t\colon Y\rightarrow W)\mapsto W//t}$ (alternativ notiert als ${\displaystyle W//Y}$).^[3][4] Ein spezieller Fall ist die terminale simpliziale Menge ${\displaystyle Y=\Delta ^{0}}$, da ${\displaystyle \mathbf {sSet} _{*}=\Delta ^{0}\backslash \mathbf {sSet} }$ die Kategorie der punktierten simplizialen Mengen ist.

• Für simpliziale Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ gibt es einen eindeutigen Morphismus ${\displaystyle \gamma _{X,Y}\colon X\diamond Y\rightarrow X*Y}$ vom Verbund simplizialer Mengen, welcher mit den kanonischen Morphismen ${\displaystyle X+Y\rightarrow X*Y,X\diamond Y}$ und ${\displaystyle X*Y,X\diamond Y\rightarrow \Delta ^{1}}$ kompatibel ist.^[5] Dieser ist eine schwache kategorielle Äquivalenz, also eine schwache Äquivalenz der Joyal-Modellstruktur.^[6][7]
• Für eine simpliziale Menge ${\displaystyle X}$ erhalten die Funktoren ${\displaystyle X\diamond -,-\diamond X\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {sSet} }$ schwache kategorielle Äquivalenzen.^[8][9]

• André Joyal: The Theory of Quasi-Categories and its Applications. 2008; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
• Jacob Lurie: Higher Topos Theory (= Annals of Mathematics Studies. Band 170). Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, doi:10.48550/arXiv.math/0608040, arxiv:math/0608040v1 (englisch, ias.edu [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 180). Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0, doi:10.1017/9781108588737 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

1. ↑ Lurie 2009, Definition 4.2.1.1
2. ↑ Cisinksi 2019, 4.2.1.
3. ↑ Lurie 2009, after Corollary 4.2.1.4.
4. ↑ Cisinski 2019, 4.2.1.
5. ↑ Cisinski 2019, Proposition 4.2.2.
6. ↑ Lurie 2009, Proposition 4.2.1.2.
7. ↑ Cisinksi 2019, Proposition 4.2.3.
8. ↑ Lurie 2009, Corollary 4.2.1.3.
9. ↑ Cisinski 2019, Proposition 4.2.4.