Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index ${\displaystyle j}$ definiert als

${\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t}$

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

${\displaystyle F_{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t}$

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral ${\displaystyle F_{1/2}(x)}$ berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen ${\displaystyle t:={\tfrac {E-E_{c}}{kT}}}$ sowie ${\displaystyle x:={\tfrac {\mu -E_{c}}{kT}}}$, sodass ${\displaystyle \mathrm {d} E=kT\,\mathrm {d} t}$:

${\displaystyle n=N\int _{E_{c}}^{\infty }{\frac {\sqrt {E-E_{c}}}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,\mathrm {d} E=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {t}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,\mathrm {d} t=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}F_{1/2}(x)}$

Das Integral ${\displaystyle F_{1/2}(x)}$ lässt sich für verschiedene Wertebereiche von ${\displaystyle x}$ näherungsweise lösen:

${\displaystyle {\tilde {F}}_{1/2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{e^{-x}+0{,}27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1{,}3\\{\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left(x^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{3/4}&{\text{wenn }}\ \,1{,}3\leq x<\infty \end{cases}}}$

Der relative Fehler dieser Näherungslösung ${\displaystyle \left({\tilde {F}}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)}$ beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei ${\displaystyle x=0}$ und bei ${\displaystyle x=1{,}3}$). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich ${\displaystyle F_{1/2}(x)}$ durch zwei Funktionen annähern:

${\displaystyle F_{1/2}(x)\approx e^{x}}$   für   ${\displaystyle -x\gg 1}$

${\displaystyle F_{1/2}(x)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}x^{3/2}}$   für   ${\displaystyle x\gg 1}$

Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

${\displaystyle \mathrm {F} _{j}(x)=-\mathrm {Li} _{j+1}(-e^{x})}$.

Wegen

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {Li} _{n}(x)={\frac {1}{x}}\mathrm {Li} _{n-1}(x)}$

folgt daraus

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {F} _{j}(x)=\mathrm {F} _{j-1}(x)}$.

• GNU Scientific Library – Reference Manual

• J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.