Gopakumar-Vafa-Dualität

Gopakumar-Vafa-Dualität ist eine Dualität in der Stringtheorie, also eine Korrespondenz zweier verschiedener Theorien, in diesem Fall zwischen Chern-Simons-Theorie und Gromov-Witten-Theorie. Letztere ist bekannt als die mathematische Entsprechung der Stringtheorie und zählt pseudoholomorphe Kurven auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit, ähnlich wie Gopakumar-Vafa-Invarianten und Pandharipande-Thomas-Invarianten. Gopakumar-Vafa-Dualität ist benannt nach Rajesh Gopakumar und Cumrun Vafa, welche diese im Jahr 1998 erstmals beschrieben haben.

Gopakumar-Vafa-Dualität beschreibt eine Korrespondenz zwischen Chern-Simons-Theorie auf dem Kotangentialbündel ${\displaystyle T^{*}S^{3}}$ über der dreidimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ und Gromov-Witten-Theorie auf der Whitney-Summe ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)={\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)}$ des tautologischen Vektorbündels über der zweidimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1}}$.^[1] Es gibt eine kanonsiche Inklusion ${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{4}}$ und dadurch eine induzierte Inklusion ${\displaystyle T^{*}S^{3}\hookrightarrow T^{*}\mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {C} ^{4}\cong \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {C} )}$. Durch einen geeigneten Endomorphismus ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}}$ dazwischen reduziert sich dieser zu einem Diffeomorphismus ${\displaystyle T^{*}S^{3}\rightarrow \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ in die spezielle lineare Gruppe und durch Komposition mit dem Nullschnitt ${\displaystyle 0\colon S^{3}\rightarrow T^{*}S^{3}}$ weiter zu einem Diffeomorphismus ${\displaystyle S^{3}\rightarrow \operatorname {SU} (2)}$ in die spezielle unitäre Gruppe.^[2] Zudem gilt:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)=\left\{([z_{1}:z_{2}],(w_{1},w_{2}))\in \mathbb {C} P^{1}\times \mathbb {C} ^{2}|\det {\begin{pmatrix}w_{1}&w_{2}\\z_{1}&z_{2}\end{pmatrix}}=0\right\},}$

wobei die ${\displaystyle -1}$ für die erste Chern-Klasse des komplexen Linienbündels steht. Durch Verringerung bis zur komplett verschwindenden Determinante^[3][4] kann ${\displaystyle T^{*}S^{3}\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ bis auf eine Konifaltigkeit reduziert werden, welche sich als Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)={\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)}$ ergibt. Aus der Perspektive der Chirurgietheorie entspricht das der Chirurgie ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightsquigarrow S^{2}\times \mathbb {R} ^{4}}$.^[5]

Eine offensichtliche Verallgemeinerung der Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ ist eine zusätzliche Wirkung der zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ auf ihr, was auf Linsenräume ${\displaystyle L(p,q)}$ führt. Gopakumar-Vafa-Dualität kann jedoch nur auf den Linsenraum ${\displaystyle L(p,1)}$ übertragen werden.^[6]

• Rajesh Gopakumar, Cumrun Vafa: Topological Gravity as Large N Topological Gauge Theory. In: Advances in Theoretical and Mathematical Physics. Nr. 2, 3. Februar 1998, S. 413–442, arxiv:hep-th/9802016 (englisch). 
• Rajesh Gopakumar, Cumrun Vafa: On the Gauge Theory/Geometry Correspondence. In: Advances in Theoretical and Mathematical Physics. Nr. 3, 13. November 1998, S. 1415–1443, arxiv:hep-th/9811131 (englisch). 
• Dave Auckly, Sergiy Koshkin: Introduction to the Gopakumar-Vafa Large N Duality. In: Geometry & Topology Monographs. Nr. 8, 20. Januar 2007, S. 195–456, arxiv:math/0701568 (englisch). 
• Andrea Brini, Luca Griguolo, Domenico Seminara, Alessandro Tanzini: Chern-Simons theory on L(p,q) lens spaces and Gopakumar-Vafa duality. In: Journal of Geometry and Physics. 60. Jahrgang, 9. September 2008, S. 417–429, arxiv:0809.1610 (englisch). 

• Gopakumar-Vafa duality auf nLab (englisch)

1. ↑ Auckly & Koshkin 2007, S. 207
2. ↑ ^{a b} Auckly & Koshkin 2007, S. 210
3. ↑ Gopakumar & Vafa 1998-03, Gl. (3.4)
4. ↑ Gopakumar & Vafa 1998-11, S. 17
5. ↑ Auckly & Koshkin 2007, Def. 2.2 auf S. 211
6. ↑ Brini, Griguolo, Seminara & Tanzini 2008, Claim 1