Homogene lineare Differentialgleichung

Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form

${\displaystyle x^{(n)}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(t)x^{(k)}(t)\,.}$

Hierbei sind die ${\displaystyle a_{k}}$ vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte ${\displaystyle {}^{(k)}}$ steht für die ${\displaystyle k}$-te Ableitung nach der Variablen ${\displaystyle t}$. Gesucht ist eine Funktion ${\displaystyle x}$, die obige Gleichung für alle ${\displaystyle t}$ auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.

Die homogene lineare Differentialgleichung

${\displaystyle x^{\prime }(t)=a(t)x(t)}$

mit Anfangswert ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ hat die eindeutige Lösung

${\displaystyle x(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}a(s)ds}x_{0}}$ .

Für den Fall, dass a konstant ist:

${\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}}$ .

Zu einer Differentialgleichung

${\displaystyle a_{n}x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\ldots +a_{1}x^{\prime }(t)+a_{0}x(t)=0}$

mit ${\displaystyle a_{n},\ldots ,a_{0}\in \mathbb {R} }$ betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“ ${\displaystyle P(\lambda )=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}}$. Dieses habe die Nullstellen ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ mit zugehörigen Vielfachheiten ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{k}}$. Dann sind alle Lösungen von der Form

${\displaystyle x(t)=\sum _{l=1}^{k}\sum _{m=0}^{\nu _{l}-1}c_{lm}t^{m}e^{\lambda _{l}t}}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle c_{lm}\in \mathbb {C} }$.

Durch die Substitution ${\displaystyle x_{1}(t)=x(t),x_{2}(t)=x^{\prime }(t),\ldots ,x_{n}(t)=x^{(n-1)}(t)}$ lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung

${\displaystyle a_{n}(t)x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\ldots +a_{1}(t)x^{\prime }(t)+a_{0}(t)x(t)=0}$

in das lineare Differentialgleichungssystem

${\displaystyle x_{1}^{\prime }(t)=x_{2}(t)}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle x_{n-1}^{\prime }(t)=x_{n}(t)}$

${\displaystyle x_{n}^{\prime }(t)=-{\frac {a_{0}}{a_{n}}}x_{1}(t)-\ldots -{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}x_{n}(t)}$

überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.

1. Die Lösung des Anfangswertproblems ${\displaystyle x^{\prime }(t)=-\sin t\cdot x(t),x(0)=x_{0}}$ ist ${\displaystyle x(t)=e^{\cos t-1}x_{0}}$.
2. Die Differentialgleichung ${\displaystyle x^{(3)}(t)-5x^{\prime \prime }(t)+8x^{\prime }(t)-4x(t)=0}$ hat das charakteristische Polynom ${\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{3}-5\lambda ^{2}+8\lambda -4=(\lambda -1)(\lambda -2)^{2}}$ und damit die Lösungen ${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}te^{2t}}$.