Immanente

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.

Sei ${\displaystyle \lambda =\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \right)}$ eine Partition von ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$. Die Immanente mit dem Charakter ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ einer ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{ij}}$ wird definiert als

${\displaystyle \operatorname {Imm} _{\chi }(A):=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\chi (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.

Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit ${\displaystyle \chi _{\lambda }=\operatorname {sgn} }$, dem alternierenden Charakter.

Beispielsweise gibt es für ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrizen drei irreduzible Darstellungen von ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{3}}$, wie folgende Tabelle zeigt.

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{3}}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle (1\,2)}$	${\displaystyle (1\,2\,3)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}}$	1	−1	1
${\displaystyle \chi _{3}}$	2	0	−1

Wie oben erwähnt ergeben ${\displaystyle \chi _{1}}$ und ${\displaystyle \chi _{2}}$ die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit ${\displaystyle \chi _{3}}$ die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Imm} _{\chi _{3}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\quad =\quad 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$

Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

• Dudley Littlewood, Archibald Richardson: Group characters and algebras. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. 233. Jahrgang, Nr. 721–730, 1934, S. 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015 (englisch). 

• Dudley Littlewood: The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. 2. Auflage. Oxford Univ. Press (Nachdruck bei AMS, 2006), 1950, S. 81 (englisch).