Wu-Mannigfaltigkeit

Die Wu-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie eine als Quotientenraum von Lie-Gruppen definierte 5-Mannigfaltigkeit. Eine besondere Rolle spielt die Mannigfaltigkeit durch ihre besonderen Eigenschaften in der Algebraischen Topologie, Kobordismustheorie und Spin-Geometrie. Benannt und erstmals untersucht wurde die Mannigfaltigkeit vom chinesischen Mathematiker Wu Wenjun.

Die speziellen orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ lässt sich kanonisch in die spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ einbetten. Der Orbitraum:

${\displaystyle W:=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$

ist die Wu-Mannigfaltigkeit.^[1][2]

• ${\displaystyle W}$ ist eine einfach zusammenhängende rationale Homologiesphäre (mit nichttrivialen Homologiegruppen ${\displaystyle H_{0}(W)\cong \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle H_{2}(W)\cong \mathbb {Z} _{2}}$^[3] und ${\displaystyle H_{5}(W)\cong \mathbb {Z} }$), welche keine Sphäre ist. Da in vier oder weniger Dimensionen jede einfach zusammenhängende rationale Homologiesphäre sogar eine Sphäre ist, ist ${\displaystyle W}$ also ein Gegenbeispiel niedrigster Dimension.^[4][5]
• ${\displaystyle W}$ hat die Kohomologiegruppen:^[1]

  ${\displaystyle H^{0}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{1}(W;\mathbb {Z} _{2})=1}$

  ${\displaystyle H^{2}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{3}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{4}(W;\mathbb {Z} _{2})=1}$

  ${\displaystyle H^{5}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

• ${\displaystyle W}$ ist der Generator des orientierten Kobordismusringes ${\displaystyle \Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\cong \mathbb {Z} _{2}}$.^[1][2]
• ${\displaystyle W}$ ist eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, welche keine Spinᶜ-Struktur besitzt.

• Dennis Barden: Simply Connected Five-Manifolds. In: Annals of Mathematics. 82. Jahrgang, Nr. 3, 1965, S. 365–385, doi:10.2307/1970702 (englisch, rochester.edu [PDF]). 

• Wu manifold auf nLab (englisch)

1. ↑ ^{a b c} Diamuid Crowley: 5-manifolds: 1-connected. (PDF) In: Bulletin of the Manifold Atlas. 2011, S. 49–55, abgerufen am 10. Juni 2024 (englisch). 
2. ↑ ^{a b} Arun Debray: Characteristic classes. Archiviert vom Original am 7. Januar 2021; abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch). 
3. ↑ Barden 1965, Lemma 1.1. (ii)
4. ↑ Daniel Ruberman: Simply Connected Embedded Spheres of Codimension One. In: Mathematical Sciences Research Institute Publications. 32. Jahrgang. Cambridge University Press, Cambridge, S. 229–232, bottom of p. 230 and Example 7 on p. 232 (englisch, slmath.org [PDF]). 
5. ↑ Simply-connected rational homology spheres. In: MathOverflow. Abgerufen am 8. Juli 2025 (englisch).